☛ Intégrer par parties (IPP)

Énoncé

Calculer ${\displaystyle I={\int }_0^{1}x{\text{e}}^x\text{ d}x}$ .

Solution

On pose : 

$\begin{array}{|cc|}\hline u^{\prime }(x)={\text{e}}^x& u(x)={\text{e}}^x\\ v(x)=x& v^{\prime }(x)=1\\ \hline\end{array}$

Les fonctions $u$ et $v$   sont dérivables sur  $[0;1]$ .
Les fonctions $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$ sont continues sur $[0;1]$ .
Alors :  ${\displaystyle I=[x{\text{e}}^x{]}_0^1-{\int }_0^{1}1{\text{e}}^x\text{ d}x=1{\text{e}}^1-0{\text{e}}^0-{\int }_0^1{\text{e}}^x\text{ d}x=\text{e}-[{\text{e}}^x{]}_0^1=\text{e}-(\text{e}-1)=1}$ .

Remarques

• Les choix de $u$ et $v$ ne sont pas arbitraires. Si une des deux fonctions est une puissance de $x$ , il est intéressant de la dériver puisque son degré diminue par dérivation ; on pose cette fonction comme étant $v$ . Si une des deux fonctions a une primitive qui s'obtient facilement, on pose cette fonction comme étant $u^{\prime }$ .
  
• Dans l'exemple précédent, la fonction à intégrer s'écrit comme un produit de deux fonctions explicitement écrites. Parfois, on peut faire apparaître un produit, en posant $u^{\prime }(x)=1$ , et on applique la méthode d'intégration par parties.
  
• Parfois, l'intégrale obtenue dans le membre de droite nécessite à nouveau une intégration par parties pour être calculée. Dans ce cas, on réitère le processus.