☛ Intégrer par parties (IPP)

Énoncé

Calculer \(\displaystyle I=\int_{0}^{1} x\text e^{x} \text{ d}x\) .

Solution

On pose : 

\(\begin{array}{|c|c|}\hline{}u'(x)=\text e^x & u(x)=\text e^x\\ \hline{}v(x)=x & v'(x)=1\\\hline\end{array}\)

Les fonctions \(u\) et \(v\)   sont dérivables sur  \([0~;~1]\) .
Les fonctions \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([0~;~1]\) .
Alors :  \(\displaystyle I=\Big[x\text e^x\Big]_0^1-\int_{0}^{1} 1\text e^x \text{ d}x=1\text e^1-0\text e^0-\int_{0}^{1} \text e^x \text{ d}x=\text e-\Big[\text e^x\Big]_0^1=\text e-(\text e-1)=1\) .

Remarques

• Les choix de \(u\) et \(v\) ne sont pas arbitraires. Si une des deux fonctions est une puissance de \(x\) , il est intéressant de la dériver puisque son degré diminue par dérivation ; on pose cette fonction comme étant \(v\) . Si une des deux fonctions a une primitive qui s'obtient facilement, on pose cette fonction comme étant \(u'\) .
  
• Dans l'exemple précédent, la fonction à intégrer s'écrit comme un produit de deux fonctions explicitement écrites. Parfois, on peut faire apparaître un produit, en posant \(u'(x)=1\) , et on applique la méthode d'intégration par parties.
  
• Parfois, l'intégrale obtenue dans le membre de droite nécessite à nouveau une intégration par parties pour être calculée. Dans ce cas, on réitère le processus.